الگوريتم های مرتب سازی
یک الگوریتم مرتب سازی الگوریتمی است که عناصر یک لیست را در ترتیب
معینی قرار می دهد. کارائی مرتب سازی برای بهینه سازی کاربردهای الگوریتم
های دیگر مانند جستجو و ادغام، که به لیست های مرتب نیاز دارند، اهمیت
دارد. مرتب سازی برای تهیه خروجی های خوانا برای انسان نیز مفید است.الگوریتم های مرتب سازی اغلب بر اساس زیر دسته بندی می شوند:
• پیچیدگی زمانی مقایسه عناصر برحسب اندازه لیست (n) . معمولا برای یک الگوریتم مرتب سازی عادی O(n log n) بهترین حالت و O(n2) بدترین حالت است. زمان ایده آل O(n) است.
• پیچیدگی زمانی تعداد جابه جائی ها برای الگوریتم های درجا (in place).
• مصرف حافظه (و استفاده از منابع دیگر سیستم). برخی از الگوریتم های مرتب
سازی برون از جا (out place) هستند. که به محل کمکی برای نگهداری داده
های موقت علاوه بر داده های در حال مرتب شدن نیاز دارند.
• بعضی از الگوریتم ها بازگشتی یا غیر بازگشتی یا هردو هستند.
• پايداری. الگوریتم های مرتب سازی پايدار ترتیب نسبی رکوردها با کلیدهای
مساوی را برقرار می کنند. یعنی اگر دو رکورد R و S با یک کلید وجود داشته
باشد و R قبل از S در لیست اصلی آمده باشد، در لیست مرتب شده هم R قبل از S
می آید.
• متد کلی. روش مرتب سازی داده ها که می تواند درج، تعویض، انتخاب، ادغام و
غیره باشد. برای مثال مرتب سازی حبابی و سریع مرتب سازی تعویضی هستند.
مرتب سازی حبابی (bubble sort)
مرتب سازی حبابی (bubble sort) ساده ترین روش مرتب کردن داده ها می باشد.
مرتب سازی حبابی گام هائی را تکرار می کند تا داده های لیست مرتب شوند.
در هر گاک دو عنصر با هم مقایسه می شوند و اگر ترتیب آنها درست نباشد با هم
جابه جا می شوند. گام ها تا زمانی که کل لیست مرتب شود و جا به جائی
موردنیاز نباشد تکرار می شود.
عناصر کوچکتر به سمت بالای لیست حرکت می کنند به همین دلیل "حبابی" نامیده شده است.
الگوریتم از ابتدای لیست شروع می کند. دو عنصر اول را مقایسه می کند،
اگر اولی از دومی بزرگتر بود جای آنها عوض می شود. به همین ترتیب ادامه می
دهد تا به انتهای لیست برسد. الگوریتم مجددا همین عمل را از ابتدای لیست
تکرار می کند تا زمانی هیچ جا به جائی در آخرین گام صورت نگیرد.
با وجود سادگی این الگوریتم بسیار ناکارآمد است و به جز آموزش به ندرت در جاهای دیگر استفاده می شود.
پیاده سازی
شبه کد الگوریتم مرتب سازی حبابی به صورت زیر است:
for i:= 1 to n do
for j:=n downto i+1 do
if A[j-1] > A[j] then
swap( A[j-1], A[j] )
end if
end for
end for
یک راه برای بهتر کردن الگوریتم فوق توجه به این نکته است که در هر
مرحله بزرگترین عنصر به انتهای لیست منتقل می شود. یعنی هر بار یک عنصر در
محل خود قرار می گیرد که در گام بعدی می توان آن را در نظر نگرفت. بنابراین
برای یک لیست با n عنصر در مرحله بعد نیاز به بررسی n-1 عنصر دیگر می
باشد.
با توجه به اینکه ممکن است در مرحله ای کلیه عناصر در محل خود قرار
بگیرند اگر جا به جائی در یک گام وجود نداشته باشد به معنی مرتب بودن لیست و
خاتمه الگوریتم است.
شبه کد زیر الگوریتم بهینه شده مرتب سازی حبابی است:
do
swapped := false
n := n-1
for i:=0 to n do
if A[i] > A[i+1] then
swap( A[i], A[i+1] )
swapped := true
end if
end for
while swapped
مثال. آرایه ای با عناصر "5 1 4 2 8" را در نظر
بگیرید. گام های لازم برای مرتب سازی لیست به صورت صعودی به صورت زیر است.
در هر مرحله عماصری که مقایسه می شوند پررنگ تر نشان داده شده اند.
First Pass
( 5 1 4 2 8 )—» ( 1 5 4 2 8 )
( 1 5 4 2 8 )—» ( 1 4 5 2 8 )
( 1 4 5 2 8 )—» ( 1 4 2 5 8 )
( 1 4 2 5 8 )—» ( 1 4 2 5 8 )
Second Pass
( 1 4 2 5 8 )—» ( 1 4 2 5 8 )
( 1 4 2 5 8 )—» ( 1 2 4 5 8 )
( 1 2 4 5 8 )—» (1 2 4 5 8 )
آرایه مرتب شده است اما الگوریتم به کار خود ادامه می دهد تا به مرحله ای برسد که هیچ جابه جائی صورت نمی گیرد.
Third Pass
( 1 2 4 5 8 )—» ( 1 2 4 5 8 )
( 1 2 4 5 8 )—» ( 1 2 4 5 8 )
آرایه مرتب شده است و الگوریتم پایان می پذیرد.
ارزیابی کارائی
اگر n تعداد عناصر لیستی است که دارد مرتب می شود. در هر مرحله يک عنصر
در محل خود قرار می گيرد که در مرحله بعد نياز به بررسی ندارد بنابراين
تعداد کل مقايسه ها برابر با (n-1)+(n-2)+...+1 می شود. حاصل اين مجموع مساوی n(n-1)/2 است که پيچيدگی O(n2) را دارد. پيچيدگی در بهترين حالت O(n) است و زمانی اتفاق می افتد که داده های ليست از قبل مرتب باشد بنابراين حلقه do-while تنها يکبار اجرا می شود.
مرتب سازی انتخابی (selection sort)
مرتب سازی انتخابی (selection sort) روش بهبود يافته مرتب سازی حبابی است.
الگوريتم ابتدا کوچکترين عنصر را توسط جستجوی خطی پيدا می کند و آنرا در
اولين محل ليست قرار می دهد، سپس دومين عنصر کوچک را پيدا می کند و به
همين ترتيب تا آخر.
پیاده سازی
شبه کد الگوریتم مرتب سازی انتخابی به صورت زیر است:
for i:=0 to n-2 do
min:=i
for j:=(i + 1) to n-1 do
if A[j] < A[min] then
min:= j
end if
end for
swap (A[i] , A[min])
end for
مثال. در زير مراحل مختلف برای مرتب کردن 5 عنصر "64 25 12 22 11" مشاهده می شود.
First Pass
(64 25 12 22 11) ( 11 25 12 22 64)
Second Pass
(11 25 12 22 64) ( 11 12 25 22 64)
Third Pass
(11 12 25 22 64) (11 12 22 25 64)
Forth Pass
(11 12 22 25 64) (11 12 22 25 64)
ارزیابی کارائی
در مقايسه با الگوريتم های ديگر مرتب سازی انتخابی، به دليل سادگی
ساختار، صرف نظر از ترتيب داده های ليست هميشه يک زمان اجرا را می دهد.
(n-1) جابه جائی در کل مورد نياز است که نسبت به مرتب سازی حبابی کمتر است و
اگر تعداد جابه جائی ها مهم باشد مرتب سازی انتخابی روش مناسبی است. تعداد
مقايسه ها در کل برابر است با (n-1)+(n-2)+…+1= Θ(n2).
مرتب سازی انتخابی برای ساختارهائی مانند ليست پيوندی که روش حذف و
اضافه کارائی دارند سودمند است. در اين حالت کوچکترين عنصر از ليست حذف شده
و سپس به انتهای مقاديری که قبلا مرتب شده اند اضافه می شود.
مثال.
64 25 12 22 11
11 64 25 12 22
11 12 64 25 22
11 12 22 64 25
11 12 22 25 64
مقایسه الگوریتم های مرتب سازی
| توضیحات |
بدترين |
بهترین |
حافظه |
پایدار |
روش |
مرتب سازی |
|
| زمان ها در الگوريتم بهينه |
O(n2) |
O(n) |
O(1) |
Yes |
Exchange |
Bubble Sort |
|
| |
O(n2) |
O(n2) |
O(1) |
No |
Selection |
Selection Sort |
|
| بهترين حالت وقتی ليست مرتب است |
O(n2) |
O(n) |
O(1) |
Yes |
Insertion |
Insertion Sort |
* |
| |
O(n2) |
O(n log n) |
O(1) |
Yes |
Insertion |
Binary Insertion Sort |
|
| |
O(n log n2) |
O(n log n) |
O(1) |
No |
Insersion |
Shell Sort |
|
| |
O(n2) |
O(n2) |
O(1) |
Yes |
exchange |
Shaker Sort |
|
| |
O(n2) |
O(n log n) |
O(n) |
No |
Partionioning |
Quick Sort |
* |
| O(1) درالگوريتم غيربازگشتی حافظه |
O(n log n) |
O(n log n) |
O(n) |
Yes |
Merging |
Merge Sort |
* |
| |
O(n log n2) |
O(n log n2) |
O(n) |
Yes |
Merging |
Odd-Even Merge Sort |
|
| |
O(n2) |
O(n log n) |
O(n) |
Yes |
Indexing |
Radix Sort |
* |
| |
O(k+n) |
O(k+n) |
O(k+n) |
Yes |
Indexing |
Counting Sort |
* |
| |
O(n log n) |
O(n log n) |
O(1) |
No |
Selection |
Heap Sort |
* |
| |
O(n2) |
O(n log n) |
O(n) |
Yes |
Selection |
Tree Sort |
* |
| |
O(n2) |
O(n) |
O(k) |
Yes |
Indexing |
Bucket Sort |
|
| مرتب سازي موازي است |
O(log n2) |
O(n log n) |
|
|
|
Bitonic Sort |
|
| تعداد اقلام منحصر بفرد m |
O(n) |
O(n) |
O(1) |
Yes |
Selection |
Bingo Sort |
|
قابل توجه دانشجويان: برای امتحان پايانی تنها الگوريتم های ستاره دار مطالعه شود.
براي دانلود روي لينک الگوريتم راست کليک کرده save target as را انتخال کنيد.
میزان راحتی باشد که وسیله j ا م فراهم میآورد و وزن آن و c اندازه کوله
پشتی باشد. مسئله ما انتخاب برداری از بین بردارهای دودویی x است،که
محدودیت را بر آورده کند. بطوریکه تابع هدف ماکزیمم مقدار خود را بگیرد . 
